Matematisk formelsamling – de generelle regneregler

Nogle generelle regneregler – helt tilbage fra folkeskolen og gymnasiet – anvendes næsten hele tiden i forbindelse med udledning af formler. Tilbage i gymnasiet udgav jeg en formelsamling med helt generelle regneregler. Disse samler jeg nu på denne side. Dette er altså de helt basale regneregler alle bør kunne.

Basale regneregler

Logaritmeregneregler

Logaritmen til 1 er altid lig med 0 – uanset hvilket grundtal x man anvender ved logaritme.
Logaritmen til grundtallet er lig med 1.
Logaritmen til et produkt er lig med summen af logaritmerne til hver faktor.
Logaritmen til en brøk er lig med differencen mellem logaritmen til tæller og logaritmen til nævner.
$logleft(frac{a}{b}right) = log(a) - log(b)$
Logaritmen til en potens er lig med eksponenten gange logaritmen til grundtallet.
Man kan skifte grundtal ved at dividere med logaritmen til det nye logaritme-grundtal.
$ln(x) = frac{log(x)}{log(e)}$

Brøkregneregler

Vil man lægge to brøker sammen skal man først finde en fællesnævner og så lægge tællerne sammen.
$frac{a}{c} + frac{b}{d} = frac{ad}{cd} + frac{bc}{cd} = frac{ad+bc}{cd}$
Man ganger et tal med en brøk ved at gange den ind i tæller.
$a cdot frac{b}{c} = frac{a cdot b}{c}$
To brøker divideres med hinanden ved at putte tællers nævner ned i nævner og nævners nævner op i tæller.
$frac{frac{a}{b}}{frac{c}{d}} =�frac{a cdot d}{b cdot c}$
Man ganger to brøker sammen ved at gange tæller med tæller og nævner med nævner.
$frac{a}{b} cdot�frac{c}{d} =�frac{a cdot c}{b cdot d}$
Står der 0 i tæller giver hele brøken 0.
$frac{0}{a} = 0$
Man kan ikke dividere med 0.
$frac{a}{0} �textrm{ er ikke defineret}$

Potensregneregler

Man ganger to potenser med samme grundtal sammen ved at lægge eksponenterne sammen.
$a^p cdot a^q = a^{p+q}$
Man dividerer to potenser med samme grundtal ved at trække eksponenterne fra hinanden.
$frac{a^p}{a^q} = a^{p-q}$
Man opløfter en potens til en ny eksponent ved at gange eksponenterne sammen.
$left(a^pright)^q = a^{p cdot q}$
En potens med eksponent 0 giver altid 1.
Et produkt opløftet i en eksponent er lig med hver faktor opløftet i eksponenten og ganget sammen.
En negativ eksponent er det samme som den reciprokke værdi af potensen med den positive eksponent.
$a^{-p} = frac{1}{a^p}$

Kvadratrodsregneregler

En kvadratrod er det samme som en potens med eksponent ½.
$sqrt{a} = a^{1/2}$
Kvadratroden af et produkt er det samme som produktet af kvadratroden af hver faktor.
Kvadratroden af en brøk er det samme som en brøk med kvadratrod af henholdsvis tæller og nævner.
$sqrt{frac{a}{b}} =�frac{sqrt{a}}{sqrt{b}}$
Man kan ikke tage kvadratroden til et negativt tal (i hvert fald ikke hvis resultatet skal være et reelt tal).

Ophævelse af parenteser

Kvadratet på en 2-ledet størrelse – man tager det første led i anden plus det andet led i andet plus eller minus det dobbelte produkt. $left(a pm bright)^{2} = a^2 + b^2 pm 2ab$
Man ganger ind i en parentes ved at gange ind i hvert led.
Står der minus foran en parentes ophæves parentesen ved at skifte fortegn på alle led i parentesen.
Står der plus foran en parentes kan den blot ophæves.
To parenteser ganget med hinanden løses ved at gange ledvist mellem hver parentes.

Geometri og trigonometri

Retvinklede trekanter

Pythagoras læresætning gælder for retvinklede trekanter, hvor a og b er kateter og c er hypotenuse.
Sinus til en vinkel er lig med modstående katete divideret med hypotenusen.
sin(v) = mod/hyp

Cosinus til en vinkel er lig med hosliggende katete divideret med hypotenusen.
cos(v) = hos/hyp
Tangens til en vinkel er lig med modstående katete divideret med hosliggende katete – eller sinus divideret med cosinus.
tan(v) = mod/hos = sin(v)/cos(v)

Generelle trekanter

Sinusrelationerne siger at forholdet mellem en side og sinus til modstående vinkel altid vil være den samme.
$frac{a}{sin(A)} =�frac{b}{sin(B)} =�frac{c}{sin(C)}$
Cosinusrelationerne eller pythagoras udvidede læresætning:
Arealet af en trekant er en halv højde gange grundlinjen.
$A = frac{1}{2} cdot h cdot g$
Arealet af en trekant er en halv gange produktet af 2 sider og sinus til modstående vinkel til den sidste side:
$A = frac{1}{2} cdot a cdot b cdot sinC$

Rektangler

Arealet af et rektangel er længde gange bredde.
Omkredsen af et rektangel er lig med 2 gange summen af længde og bredde.

Trapez

Arealet af en trapez er lig med en halv gange højde gange summen af de to parallelle sider.
$A = frac{1}{2} cdot h cdot (a+b)$

Parallelogram

Arealet af et parallelogram er lig med højden gange grundlinjen.

Cirkel

Arealet af en cirkel er lig med pi gange radius i anden.
Omkredsen af en cirkel er lig med 2 gange pi gange radius.

Cylinder

Volumen af en cylinder er lig med pi gange radius i anden gange højden.
Den krumme overflade O er lig med 2 gange pi gange radius gange højden.

Kegler

Volumen af kegler er lig med 1/3 af højden gange grundfladearealet G.
$V = frac{1}{3} cdot h cdot G$

Pyramide

Volumen af en pyramide er lig med 1/3 af højden gange grundfladearealet G.
$V = frac{1}{3} cdot h cdot G$

Kugle

Volumen af en kugle er 4/3 gange pi gange radius i tredje.
$V = frac{4}{3} cdot pi cdot r^3$
Overfladearealet O af en kugle er lig med 4 gange pi gange radius i anden.

Funktioner

Lineær funktion

Ligning for en lineær funktion:
Løsning til en lineær ligning:
$x=frac{-b}{a}$
Hældning:
$a = frac{Delta y}{Delta x}$
Konstantled:

Hyperbel

Ligning for hyperbel:
$f(x) = frac{a}{x}$

Andengradspolynomium

Ligning for andensgradspolynomium:
Løsning for andengradsligning hvor diskriminanten :
$x=frac{-b pm sqrt{d}}{2a}$
Toppunkt:
$left(frac{-b}{2a};frac{-d}{4a}right)$

Vektorregning

Generelle vektorformler

Længden af en vektor finder man ved kvadratroden af kvadratet på hver koordinat:
$|vec{a}| = sqrt{a_1^2 + a_2^2}$
Man ganger et tal med en vektor ved at gange tallet ind i hver koordinat:
Summen af to vektorer findes ved at summere hver koordinat:
Differencen mellem to vektorer findes ved at tage differencen af hver koordinat:
Skalarproduktet/prikproduktet sker ved at gange samme koordinater og så lægge produkterne sammen.
Vinklen mellem to vektorer er prikproduktet divideret med produktet af længerne:
$cosalpha = frac{vec{a} cdot vec{b}}{|vec{a}|cdot |vec{b}|}$
Hvis to vektorer er vinkelrette (ortogonale) er prikproduktet 0.
Projectionen af vektor b på a:
$vec{b_a} = frac{vec{a} cdot vec{b}}{|vec{a}|^2} vec{a}$
Længden af en projektion:
$|vec{b_a}| = frac{|vec{a} cdot vec{b}|}{|vec{a}|}$
Tværvektoren/Hatvektoren:
$hat{vec{a}} = hat{(a_1,a_2)} = (-a_2,a_1)$
Determinanten:
$det(vec{a},vec{b}) = hat{vec{a}} cdot vec{b} = a_1 cdot b_2 - a_2 cdot b_1$
Determinanten:
Determinanten er lig med 0 ved parallelle vektorer:
Arealet af det parallelogram der udspændes af to vektorer:
Krydsproduktet: